已知x>0 f(x)=(1+ln(x+1))/x a1=2 数列 an=n^2+n

证明：(1)、x[f(x)-3/(x+1)]=1+ln(x+1)-3x/(x+1)=ln(x+1)-2+3/(1+x)=ln(x+1)/e^2+3/(x+1)=ln([(x+1)/e^2]*e^3/(x+1)),令x+1=t,下面我们证明(t/e^2)e^3/t＞1，即证明te^(3/t)＞e^2,令g(t)=te^(3/t),求导得g(t)'=(1-3/t)e^(3/t),取g(t)'=0,得t=3,即在t=3处g(t)有最小值g(3)=3e,而3＞e,所以g(3)＞e^2,于是(t/e^2)e^3/t＞1，即有x[f(x)-3/(x+1)]=ln([(x+1)/e^2]*e^3/(x+1))＞0，但x＞0，所以f(x)>3/(x+1)，（1）得证！
(2)、只要证明ln(1+a1)(1+a2)……(1+an)＞lne^(2n-3)=2n-3,但由于(1)我们有：ln(1+x)＞2-3/(1+x),即有ln(1+am)＞2-3/(1+am),1+am=m^2+m+1＞m^2+m=m(m+1),所以1/(1+am)＜1/m(m+1)=1/m-1/(m+1),于是有∑1/(1+am)＜1-1/n＜1，于是∑ln(1+am)＞∑[2-3/(1+am)]=2n-∑3/(1+am)＞2n-3.即(2)得证！

求导你会吗？